Video-aperitivo scientifico #2 – Cin-Cin! La formula del brindisi

Siamo oramai prossimi al periodo delle Feste e noi di science4fun volevamo augurarvi Buon Natale e Buon Anno proprio con un video aperitivo a tema.

Dicembre: periodo di regali, panettoni ma soprattutto di brindisi! Già, visti gli innumerevoli festeggiamenti a cui parteciperemo in questi giorni, ci siamo chiesti:

quanti Cin-Cin ci saranno ogni volta che partirà il classico rinfresco augurale?

(N.B. 1 Cin-Cin (o 1 brindisi) = tocco distinto tra i bicchieri di due persone) 

Ad esempio:

• una coppia di fidanzati farà 1 solo “cin” (e fin qui…);
• una squadra di basket da 5 persone ne farà 10;
• un sestetto di giocatori di pallavolo incrocerà 15 volte i bicchieri;
• una squadra di calcio farà “cin” 55 volte.

Cose lega questi numeri? Prendi il tuo bicchiere in mano e trova la risposta nel nostro video aperitivo. Poi continua la lettura per saperne di più!

La formula. 

Bene, cominciamo dalla risposta: se in un tavolo ci sono persone il numero complessivo di tutti i Cin-Cin è:

 

Ad esempio, tornando al caso del brindisi di una squadra di basket, avremo , per cui i cin cin saranno:

 

Provare per credere! Se non vuoi alzare troppo il gomito con una campagna intensiva di prove empiriche, puoi verificare questa tesi con qualche semplice ragionamento.

Spiegazione 1: Tutti per uno e/o uno per tutti?

Un modo intuitivo per capire cosa sta dietro la formuletta, è pensare che in ogni brindisi tu dovrai far toccareil tuo bicchiere con quello degli altri partecipanti.

Se in tutto, come abbiamo detto, siete  persone, allora avremmo  coppie di Cin-Cin. Però attenzione, così facendo conteremmo due volte gli eventi come “Anna brinda con Marco” e “Marco brinda con Anna”, che invece sono due brindisi equivalenti, solamente visti in ordine diverso. Per eliminare la ridondanza è sufficiente dividere per 2. Per cui i cin cin saranno proprio

 .

Spiegazione 2: la tabella

Alternativamente puoi rappresentare la situazione con una tabella. Segna sia sulle righe che sulle colonne tutti i partecipanti al brindisi. Ogni elemento della tabella rappresenta il Cin-Cin tra l’amico in colonna e quello in riga. La tabella avrà quindi  righe e  colonne. Usiamo per comodità  e disegniamola:

Avrai già notato come gli elementi che giacciono sulla diagonale della tabella, rappresentati con il segno “-”, indichino il brindisi di una persona con se stessa.

Questi improbabili “autobrindisi” sono proprio , tanti quanti gli amici, ovvero 4 nel nostro esempio. Non dobbiamo contarli. Quindi dei nostri  Cin-Cin, ne consideriamo solo:

Anche in questo caso troviamo degli elementi equivalenti, difatti, se osservi bene, puoi notare che per ogni brindisi etichettato con una “coppia di bicchieri” ne esiste uno equivalente etichettato con “*”. Dunque dividiamo per due per scoprire che il numero dei cin cin sarà esattamente:

Spiegazione 3: il calcolo combinatorio

C’è una branca della matematica che si chiama calcolo combinatorio che si occupa proprio di rispondere a questo tipo di problemi. Se sei interessato a vedere la matematica al lavoro, prosegui il pasto con un semplice approfondimento tecnico!

Conclusioni

Eccoci alla fine di questo aperitivo scientifico di Buone Feste.

Piccola nota a margine: più si è numerosi a brindare più Cin-Cin ci saranno. A quanto ci risulta, ad oggi, il brindisi più grande del mondo è stato omologato il 20 Aprile 2012 a Boston in occasione del centesimo anniversario del Fenway Park, lo stadio di baseball dei Red Sox. In quel caso brindarono 32.904 persone! Difficilmente ognuno è riuscito a toccare i bicchieri dei restanti partecipanti ma, se fosse stato possibile, ci sarebbero stati circa 540 milioni di Cin-Cin (per la precisione 541.320.156). Non male vero?

In fin dei conti, sia che tu stia festeggiando con un piccolo gruppo di amici, sia che tu stia per alzare il calice con più di 30.000 persone, l’importante è far sentire il tuo squillante, simpatico e piacevole “Cin”.

Get the party started! Buon Natale e Buon 2013!    : )