Video-aperitivo scientifico #4 – esiste un modo per vincere a pari o dispari?

Uno dei metodi più utilizzati per affidare al caso una questione tra due persone è giocare una partita a “pari o dispari“. Ci abbiamo giocato tutti, almeno una volta, sfidando qualcuno per i motivi più disparati: per scegliere palla o campo prima della partitella, per decidere quale film andare a vedere al cinema, per stabilire chi prende la macchina e chi-più-ne-ha-più-ne-metta!

Esiste un modo per cercare di vincere con più facilità?

Scoprilo in questo video, e poi, se ti va, continua a leggere l’approfondimento.

Le regole del gioco sono semplici: noi ed il nostro avversario scommettiamo sulla somma di due numeri: uno di noi scommette che sarà pari e l’altro che sarà dispari. Deciso questo, mostriamo simultaneamente con le dita un numero compreso tra 0 a 5, coordinandoci con una filastrocca più o meno imbarazzante. Sommando questi due numeri se ne otterrà un terzo, che sarà pari o dispari, decretando il vincitore.

Partiamo da una manciata di concetti:

1. qualsiasi numero intero (es. 1, -125, 96, -45.964, …) è o pari o dispari;
2. se un numero è divisibile per 2 è un numero pari, altrimenti, è un numero dispari;
3. lo 0 è un numero pari a tutti gli effetti! (non emarginiamolo)
   
4. le somme di numeri pari e dispari seguono queste regole standard (provare per credere):

• Pari + pari = pari
• dispari + dispari = pari

• Pari + dispari = dispari

• dispari + pari = dispari

I numeri che si possono giocare su una mano sono sei, eccoli:

Il punto 4 dell’elenco sopra ci permette di fare una prima osservazione:

Ai fini del risultato importa solamente la decisione di “buttare giù” un numero pari o un numero dispari, indipendentemente da quale numero sia. Giocare 0, 2 o 4 non fa differenza. Analogamente, buttare 1, 3 o 5 è identico.

Seconda osservazione: il “pari o dispari” è equilibrato (ovvero: abbiamo il 50% di probabilità di vincere o di perdere) se il nostro avversario butterà un numero pari nel 50% dei casi, mentre nell’altro 50% butterà un numero dispari. Questo accade, ad esempio, se l’avversario giocherà equiprobabilmente, con probabilità 1/6, uno dei sei numeri disponibili: 0, 1, 2, 3, 4 e 5 (1/6 * 3 = 0,5, che è proprio quel famoso 50%).

Ma, taatatadannnn, ecco la sorpresa: quante volte avete visto giocare lo 0…? Poche…? Pochissime…? Mai…!? Praticamente quasi nessuno gioca lo 0, o comunque, lo giocano in pochissimi. Questa asimmetria permette l’utilizzo di semplici strategie per aumentare la probabilità di vittoria, con buona pace dell’equilibrio.

Bene, adesso cerchiamo di capire come vincere!

Abbiamo detto che lo 0 è un numero poco usato in questo gioco. Chiamiamo p la probabilità che il nostro avversario giochi 0. Se gli altri numeri {1, 2, 3, 4, 5} sono equiprobabili tra loro, la probabilità che l’avversario giochi uno di questi cinque è:

.

Di conseguenza la probabilità che l’avversario giochi pari, che vale:

è inferiore a quella che giochi dispari, che invece vale solo:

(questo è vero per p<1/6 che, secondo il ragionamento, è un’assunzione lecita).

Terza osservazione: se il nostro avversario non usa lo 0 ma sceglie un valore casuale tra 1, 2, 3, 4 e 5, è più facile che butti un numero dispari (d’altronde ha a disposizione 3 alternative su 5). Nei casi estremi, in cui p = 0, il nostro avversario giocherà dispari con una probabilità del 60%!

Strategia per cercare di vincere

Secondo quest’ipotesi comportamentale, le persone buttano giù, inconsapevolmente, un po’ più spesso un numero dispari. Riguardando il punto 4 di sopra, possiamo concludere che la strategia migliore è la seguente:

• Se scommettiamo su pari allora dobbiamo buttare un numero dispari
• Se scommettiamo su dispari allora dobbiamo buttare un numero pari

Le due alternative sono equivalenti tra loro? Formalmente sì, non esiste un vantaggio oggettivo a scommettere su pari o dispari. In realtà, se il nostro avversario fa un ragionamento analogo al nostro (ovvero scommette su un cosa e gioca il contrario), potendo scegliere, ci converrebbe scommettere su dispari e giocare pari.

Conclusione

Queste riflessioni sul pari o dispari andrebbero fatte conducendo delle prove empiriche ben strutturate. Le prove su strada che abbiamo mostrato nel videoAperitivo sono solo indicative ma lasciano trasparire come il pari o dispari non sia un gioco equilibrato, ma sia fortemente influenzato dalle abitudini personali. Una su tutte: lo scarso utilizzo dello 0.

Se siete in cerca un gioco equilibrato, sarebbe meglio ripiegare sul classico testa o croce. Ma perché rinunciare al fascino dell’imprevedibile ed al pathos di un pari o dispari con annesso: “Biiiiiim…Buuuuum...Bam“!?

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